柊四千的倉庫

我們用反證法證明結論。假定存在 $5$-正則平面圖 $G_0$ 且 $|V(G_0)|=14$，不妨設 $G_0$ 已經嵌入(embed) $\mathbb{R}^2$ 裡了。首先觀察到 \[|E(G_0)| = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 14 = 35.\] 另一方面，平面圖的邊數上限給出 $3|V(G_0)| - 6 = 36$，我們可以得到以下的引理： [引理 1] $G_0$ 恰包含一個 $4$ 邊組成的面 (face)。 我們加一條邊在 $G_0$ 唯一的 $4$ 邊組成的面，得到新的平面圖 $G$。$G$ 會滿足以下的性質： $G$ 有 $12$ 個點的度數為 $5$ 且有 $2$ 個點的度數為 $6$。 $G$ 上度數為 $6$ 的兩個點相鄰。 $G$ 的每個面都是三角形，且每條邊恰好夾在兩個面中間。 一個平面圖上的簡單環 $C$ 會將這個平面圖的點集合切成三塊：$C$ 內部的點 $V_\text{in}(C)$、$C$ 外部的點 $V_\text{out}(C)$、以及 $C$ 上的點 $V(C)$。我們有以下的兩個引理： [引理 2] $G$ 的每個三角形都是面。 假定引理為假，即 $G$ 有個三角形 $x_1x_2x_3$ 滿足 $|V_\text{in}(x_1x_2x_3)|$ 與 $|V_\text{out}(x_1x_2x_3)|$ 皆不為 $0$。 由於 $|V_\text{in}(x_1x_2x_3)| + |V_\text{out}(x_1x_2x_3)| = 11$，我們可以假設 $|V_\text{in}(x_1x_2x_3)| \le 5$。 另一方面，由於 $G$ 裡所有點的度數皆至少為 $5$，必須有 $|V_\text{in}(x_1x_2x_3)| \ge 3$。 情況 1：$|V_\text{in}(x_1x_2x_3)| = 3$ 由於對任意 $v \in V(G)$ 皆有 $\deg(v) \ge 5$，我們發現 導出子圖 (induced subgraph) $G[V_\text{in}(x_1x_2x_3)\cup\{x_1, x_2, x_3\}] \cong K_6$，包含了 $K_5$ 結...

筆者這次也參與了全國賽的驗題，這邊放一份另一位驗題者與筆者提供的詳解。題本的連結在 這裡 ，pC / pE / pH / pI 的時間限制分別為 2.5s / 2.5s / 2.0s / 0.1s，其餘題目皆為 1.0s。另，讀者也能在 這裡 找到與下文基本相同的內容。 A. 髮廊服務優化問題 (barbershop) 有 $n$ 個人一起來店，第 $i$ 個人的服務時間為 $t_i$。每個客人等待時間是前面人 $+$ 自己服務時間總和，求等待時間總和的最小值。例如：三個人服務時間為 $2,1,3$，若服務順序為 $1,2,3$ 則等待時間總和為 $2 + (2+1) + (2+1+3) = 11$。 等價題序：給一個陣列 $\mathbf{t} := \{t_i\}_{i=1}^n$，將 $\mathbf{t}$ 重新排列使得 $nt_1 + (n-1)t_2 + (n-2)t_3 + \ldots + t_n$ 最小。由上式不難得知，順序越前面被乘的係數就越大，所以可以貪心地將數字從小排到大。複雜度 $O(n \log n)$。 B. 校園公車 (bus) 給定由 $n$ 條線段組成的折線 $\mathbf{P} := \left\{ \overline{P_i P_{i+1}} \right\}_{i=1}^n$ 與一點 $O$，問 $O$ 到 $\mathbf{P}$ 的最短距離。 先考慮這個問題：給定一線段 $\overline{PQ}$ 與一點 $O$，求 $O$ 到 $\overline{PQ}$ 的距離。首先我們作 $O$ 到 $\overline{PQ}$ 的垂足 $H$，並試著計算 $\overline{OH}$。注意 $\overline{OH}$ 其實就是 $\Delta OPQ$ 以 $\overline{PQ}$ 為底時的高，所以可以用下面的方法計算： Length_OH(O: Point, PQ: Segment): A ← ΔOPQ return 2A/|PQ| $\Delta OPQ$ 可以用 Shoelace formula 計算。 但事情沒有這麼簡單。$O$ 到 $\overline{PQ}$ 的距離並不總是 $\overline{OH}$：當 $\angle OPQ...

筆者參與了本屆全國賽的驗題。驗題工作包含修正題目敘述與訂定時間限制，並 總是要 於必要時重出測試資料，前後花了一個多月才完成。讀者可以把這篇文章當作上篇 題解 的幕後花絮，簡單了解比賽題目是怎麼產生的，以及有哪些有趣的事情發生。由於筆者花最多時間在驗 pG 上，pG 會佔大部分的篇幅，還請見諒。 A. 礦砂採集 由於排序的 $\Theta(n\log n)$ 和 quickselect 的 $O(n)$ 以比賽來說難以區分，一開始就只預期參賽者用排序 AC。一度想過是否把 $n$ 的上限拉到 $10^5$ 卡 $\Theta(n^2)$ 排序，想說這題就是個簽到題就算了，可惜仍有參賽者未能拿到滿分。 B. 村莊與小徑 看到 scoreborad 有人卡在最後一個 subtask，有點好奇究竟是單純的 bug 還是堅信 SPFA 的時間複雜度是 $O(kE)$ 而狂傳。大概在 $10$ 年前，筆者還在打 TOI 的時候，簡體中文網路上就流傳著 SPFA 時間複雜度只有 $O(2E)$，快到可以作為 general 最短路徑演算法的都市傳說。筆者並不清楚為什麼許多中國人認為 Dijkstra 比 SPFA 難寫（筆者覺得正好相反）導致即使可能 TLE 也要寫 SPFA，不過總之請記得，如果一個題目能用 DAG 上 DP 或 Dijkstra 過，請不要用 SPFA。 C. 樣本解析 這題的交集關係部分寫得很繁瑣，但我們沒有辦法。本來打算用 $\subset$ 表示 proper subset，實際上也有 $\subseteq$ 這個符號，筆者認為就像 $<$ 和 $\leq$ 一樣，不應有混淆的空間；然而偏偏有些作者在用「$A \subset B$」時，允許 $A = B$，可能導致參賽者混淆而放棄。也考慮過改用 $\subsetneq$ 符號，但這跟 $\lneq$ 一樣相對罕見，考慮參賽者都是高中生很可能看不懂，只好全部改用中文敘述。 D. 水果包裝 筆者第一次看到題目後，在紙上推敲了許久（$30$ 分鐘有）才得出 greedy 結論，很意外這題的答題狀況這麼好 ，好奇到底有多少人是用猜的 。不過有一等獎參賽者沒能拿到滿分，用心出 $n$ 的數量級 $10^5$ 的測資也有了價值 (? 原先這題 $n$ 的上限只到 $100...

筆者參與了這屆全國賽的驗題，也出了 pD 與 pG 的所有測試資料。由於現場講解有些不夠明確 ，故在這邊放一份兩位驗題者與筆者提供的詳解。題本的連結在 這裡 ，pE / pF / pG / pH 的時間限制分別為 2.0s / 2.3s / 6.5s / 0.1s，其餘題目皆為 1.0s。 A. 礦砂採集 這題是很典型的 連續背包問題 。結論非常簡單：只要不斷貪婪地將單位重量價值最大的礦砂放進背包，直到背包已滿或所有礦砂均已被放入，就能最大化總價值。 一個簡單的做法是將所有礦砂依照單位重量價值由大到小排序，依序放入背包直到滿即可。複雜度是 $O(n \log n)$。 線性做法 雖然並不是本題的考點，但有一個值得一提的 $O(n)$ 做法存在。以下為了方便說明，假定所有的 $x_i$ 均相異。 隨機選擇一個礦砂 $i$，並將所有的礦砂分為單位價值 $\ge x_i$ 與 $< x_i$ 兩堆。 分歧判斷： 若單位價值 $\ge x_i$ 的礦砂可以塞滿背包，則將 $< x_i$ 的礦砂全刪除，並往大的 $x$ 找答案。 反之則將價值 $\ge x_i$ 的礦砂全刪除，往小的 $x$ 找答案。 搜尋完後得到的值代表「總價值最大時，背包中單位重量價值最小的礦砂」，再用這個價值去反求答案。 演算法與 quickselect 非常相似，期望時間複雜度為 $O(n)$。 B. 村莊與小徑 這題是一道最短路徑的問題，但給定的限制中有幾個點要注意： 給定的圖是 DAG（有向無環圖）。 邊權可能是負的。 條件 1 保證這張圖存在拓樸排序，求解可用 top-down DP，或找出拓樸排序後用 bottom-up DP。 // ord = 拓樸排序的點順序 // fr[x] = 連到 x 的所有點 fill(dis, dis+n+ 1 , INF); dis[ 1 ] = 0 ; for ( int i= 1 ; i<=n; i++) { int p = ord[i]; // 找所有能連到 p 的點 j，更新 p 的最短距離 for (Edge j: fr[p]) dis[p] = m...

設 $p$ 為質數且 $a \in \mathbb{Z}$。考慮問題： 是否存在 $r \in \mathbb{Z}$ 使得 $r^2 \equiv a\ (\operatorname{mod}p)$？ 如果這樣的 $r$ 存在，有沒有好的方法找？ 如果第一個問題的答案是肯定的且 $p\nmid a$，我們說 $a$ 是 $p$ 的 二次剩餘 (quadratic residue)；如果第一個問題的答案是否定的，則說 $a$ 是 $p$ 的 二次非剩餘 (quadratic nonresidue)。 當 $p = 2$ 或 $a \equiv 0$ 時上面兩個問題都是 trivial；以下假定 $p \geq 3$ 且 $a \not\equiv 0$。透過觀察 $x^2-r^2 = (x-r)(x+r)$ 且 $r \neq -r$，我們發現 $a$ 可以寫成 $r^2$ 若且唯若方程式 $x^2-a = 0$ 在 $\mathbb{Z}_p$ 下恰有兩相異根。這代表恰有 $\frac{p-1}{2}$ 個 $\mathbb{Z}_p^\times$ ($\mathbb{Z}_p$ 的乘法群) 裡的元素能被開根號，而另外 $\frac{p-1}{2}$ 個 $\mathbb{Z}_p^\times$ 裡的元素不能被開根號。又，費馬小定理指出，對於所有的 $x \in \mathbb{Z}_p^\times$，均有 \[ x^{p-1} -1 = (x^\frac{p-1}{2}-1)(x^\frac{p-1}{2}+1) = 0 \] 若 $a = r^2$，則 $a^\frac{p-1}{2}-1 = r^{p-1}-1 = 0$。因為方程式 $x^\frac{p-1}{2}-1 = 0$ 最多只能有 $\frac{p-1}{2}$ 個根，我們得到了以下的定理： [定理] 設 $p \geq 3$ 為一奇質數且 $a \in \mathbb{Z}_p^\times$，則 $a$ 是 $p$ 的二次剩餘若且唯若 $a^\frac{p-1}{2} = 1$。 $a$ 是 $p$ 的二次非剩餘若且唯若 $a^\frac{p-1}{2} = -1$。 至此第一個問題 $O(\log p)$ 時間複雜度圓滿解決。 為了接下來的討論方便，這邊介紹 勒讓德符號 (Le...

Description 雖然經歷了這場讓人魂飛魄散的事件，但是經過護士姊姊細心診斷確定他的人及屬性都沒受創之後，妁艷回到了家。 隔天去了學校，學習了更多技能之後發現身體感覺並沒有什麼異狀。可是體內感覺卻有股蠢蠢欲動的力量……。 回到了家，突然想到昨天妹妹借的書還沒還給他，就去找妹妹。可是，妁艷在門外叫了好幾聲都沒反應，他就逕自進入妹妹的房間。 「喔哈哈！」進來之後發現妹妹不在，妁艷不自覺的笑了。他開始尋找目標物，從書櫃、抽屜、書包、床鋪、衣櫃等等地方仔細搜索之後，終於在書桌上找到了那本書。 「奇怪？」書上放著一張紙條，使妁艷有點疑惑，上面寫著：「$2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, \ldots$。」 聰明的妁艷當然一看又知道是一串質數。找的口有點渴的妁艷，拿起桌上喝了一半的汽水準備一飲而盡，猛然發現蓋子竟然打不開，而且瓶蓋上還印了一個正整數 $n$ 和一個質數 $p$，仔細一看他才發現紙上還寫了：「打開汽水需要找出第 $p$ 個冒出的泡泡編號。」 為了喝到汽水，妁艷研究出了這種汽水冒泡的規律。 泡泡原本的順序是 $n$ 到 $1$，也就是 $n, n-1, n-2, \ldots, 3, 2, 1$。 從時間 $t=0$ 開始每秒會有些泡泡跟其他泡泡位置交換。 奇妙的是，它們都遵守第 $t$ 秒內時只有被編號第 $t$ 個質數 $q$ 整除的泡泡才可能變位置。 第 $t$ 秒內，對第 $i$ 個被 $q$ 整除的泡泡編號 $a$ 會跟第 $i+1$ 個被 $q$ 整除的泡泡編號 $b$ 比大小，如果 $a$ 大於 $b$，泡泡 $a$ 和 $b$ 就會交換位置，$a$ 繼續跟第 $i+2$ 個比，否則用 $b$ 跟第 $i+2$ 個比。 泡泡最後的位置順序的倒序就是冒泡順序。 例如 $n=8$， $t=0$ 時，順序是 $8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1$。 $t=1$ 時，順序是 $6, 7, 4, 5, 2, 3, 8, 1$。($8$ 跟 $6$ 換、$8$ 跟 $4$ 換、$8$ 跟 $2$ 換且 $2, 4, 6, 8$ 都被 $2$ 整除) $t=2$ 時，順序是 $3, 7, 4, 5, 2, 6, 8, 1$。($6$ 跟 $3$ 換且 $3, 6$ 都被 $3$ 整除) ...

Description You will be given a connected undirected tree. Each node will have an associated integer that we will call its value. We also define the value of a subset of nodes as the sum of values of the nodes in the subset. Consider the subsets of nodes of this tree whose size is between $1$ and $K$, inclusive, and satisfy the property that within each subset no node is an ancestor of another. We will call these subsets the $K$-anti-ancestral subsets of the tree. Your task is, given the tree, to find the $K$-anti-ancestral subset of maximum value. As an example, consider the tree below. Each node is named with a capital letter and the value of each node is the integer below the letter: Suppose $K = 3$. Then the subset of nodes $\{A\}, \{B, E\}, \{C, E\}, \{D, G\}$ and $\{B, E, F\}$ are some of the $K$-anti-ancestral subsets of the tree, because they all have between $1$ and $K = 3$ nodes and within each subset there doesn't exist a pair of nodes such that one is ...

一棵樹有「拔掉任一非葉節點便不連通」的良好性質，可以幫助我們用 DP 和 divide-and-conquer 解決問題，例如 POJ 1741 和 TIOJ 1647 。這篇假定你知道怎麼把 POJ 1741 做到 $O(n(\log n)^2)$ 的時間複雜度 (如果你不知道也沒關係，google "POJ 1741" 就有很多資料了 XD)。我們沿用 先前 的定義，把一張點數和邊數相等的連通近圖 ( pseudograph ) 稱作一隻水母。再次提醒，水母並不是正式名稱 (我找不到正式名稱 orz)。 考慮這個問題：給定一隻大小為 $n$ 的水母 $J = (V, E)$，邊有正權重，請求出 $J$ 的 $K$-近對個數。一個 $K$-近對的定義是距離不超過 $K$ 的 (無序) 點對。觀察到一隻水母其實是由頭部 (環) 和數條觸手 (樹) 組成。設頭部由點 $t_0, t_1, \ldots, t_{m-1}$ 組成，從 $t_i$ 長出的觸手為 $T_i$。我們把 $K$-近對 $(u, v)$ 分成兩種：$u, v$ 屬於同一條觸手 ($\alpha$ 型)、$u, v$ 屬於不同條觸手 ($\beta$ 型)。只要在每條觸手上跑 POJ 1741，就能求出 $\alpha$ 型 $K$-近對個數了。至於 $\beta$ 型，做法是對於每個點 $v$，統計有幾個點 $u$ 滿足 $u$ 和 $v$ 不在同一條觸手上 $u, v$ 的距離 $d(u, v) \leq K$ 我們用上圖來做說明。設邊 $(t_i, t_{i+1})$ 的權重為 $w_{i+1}$，$s_i := w_1 + \ldots + w_i$ 為「從 $t_0$ 開始，順著 $t_0, t_1, t_2, \ldots$ 的方向，走 $i$ 條邊的里程數」(為了方便，不該超過 $m-1$ 的那些索引值，一旦超過 $m-1$ 就自動對 $m$ 取模)。設 \[ \begin{cases} u \in T_j, d_u := d(u, t_j),\\ v \in T_i, d_v := d(v, t_i), \end{cases} \] 則 $d(u, v)$ 就是 $d_u+d_v+(s_i-s_j)$?! 當然我們沒有這麼好的事情，因為 有...

Description 「嗚，不可能，這不可能塞得進去!!! 啊~~~」妤嬌姊姊道。 為了前往外太空解救妁艷，妤嬌決定前往歐洲尋找最先進的航太科技。這個國家是位在白俄羅斯和波蘭的邊境的一個小王國。啵啵啪啪王國，一個世襲君主國家，國民血統為純正的 $1/2$ 白俄羅斯 + $1/2$ 波蘭的完美比例組成。國民擁有驚人的平均 $514$ 的智商，能發展出遠遠超越 SERN 的核物裡和遠遠超越地球聯合、吉翁、紮夫特的航太科技，並不意外。身為潮能力者，LEVEL-5，像是穿越電腦螢幕網路王國傳送 (Network Transfer to Realms, NTR) 這種事情妤嬌當然做過很多次。 「啊~ 好激烈，妤嬌，姊姊快不行了~ 在這樣下去姊姊會~~ 姊姊會壞掉~~」 「姊姊，我也…我也快不行了~~~」 由於妤嬌隨身攜帶的 laptop 螢幕太小了，要把人塞進去有點困難。妤嬌研判，照這樣的情況下去，再把兩個人 (妤嬌自己則可以穿越隧道過去) 都傳送過去之前電腦螢幕有可能會壞掉！ 妤嬌說：「沒辦法，妳們兩個一起來吧！」 「嗚!! 兩邊!? 兩邊一起絕對不行的!!」兩位美少女同聲道。 (十分鐘過後) 「啊~ 妤嬌~~」 「妤嬌葛格~~ 啊~~」 三人都因為使力而身體微微泛紅，身上沾著彼此的汗珠。 「要去了!!!!!!」妤嬌喘著氣大喊。 「在裡面!?!?!?!?」 「妤嬌!!!!~~~~~~~~~」 周圍閃了幾下白光，費盡工夫，總算把兩人塞進螢幕裡面了。剩下的工作就有開啓「人工少女 3」把電腦中的兩人送到啵啵啪啪王國了。 「要產品序號!?」 點開遊戲後才發現事情不妙！ 在妤嬌的記憶中，序號是由下列方法所生成的： 給定質數 $p$ 和正整數 $b, c, n$，定義序列 \[ \begin{cases} a_0 = 1,\\ a_i(a_{i+1}-c)=b,&\text{for }i = 0, 1, \ldots \end{cases} \] 序號為最小的正整數 $m$，使得 $p|ma_n-1$。由於妤嬌是個天才，你只需要幫他驗算就可以了，輸出序號 $\operatorname{mod}q$。 Input Format 第一行有五個正整數 $b, c, n, p, q$，其中 $p, q$ 為質數，意義如上...

Description 你有 $n$ 張眼皮和三隻向姊，每張眼皮有他的角動量。 你希望把這些眼皮全部分給三隻向姊，為了避免眼皮爆走，所以需要讓向姊間的角動量差最小，否則向姊們就會吵架！ (假設所有眼皮轉動方向都是逆時針方向，且對於每隻向姊，她的所有眼皮的旋轉中心都相同) Input Format 第 $1$ 行有一個數字 $n\ (3\leq n\leq24)$，代表眼皮的個數。 第 $2$ 行有 $n$ 個數字 $a_1, \ldots, a_n$，$1\leq a_i\leq10^9$，代表每張眼皮的角動量。 Output Format 輸出一個數字，代表角動量最大的向姊和角動量最小的向姊間的角動量差的最小值。 Sample Input 4 5 4 7 6 Sample Output 3 Solution 如果今天只有兩隻向姊，怎麼做呢？利用  meet-in-the-middle algorithm ，可以做到 $O(n2^{n/2})$ 的時間複雜度，比 naïve 演算法的 $O(2^n)$ 快。以下將介紹怎麼在有三隻向姊的情況下，同樣利用 meet-in-the-middle 的精神，在 $O(n3^{n/2})$ 時間內求出答案。為了後續的討論方便，我們允許某個 $a_i \leq 0$，且允許某隻向姊沒分到任何眼皮。 假定三隻向姊拿到的眼皮角動量總和分別為 $p, q, r$，不失一般性令 $p \leq q \leq r$，目標最小化 $r-p$。設 $s := a_1 + \ldots + a_n$，則以下的兩個敘述至少一個會成立： $p \leq q \leq s/3 \leq r$ $p \leq s/3 \leq q \leq r$ 如果我們知道怎麼算出第一種情況 $r-p$ 的最小值，只要把每個 $a_i$ 變號，第一種情況 $r-p$ 的最小值就變成「變號前的第二種情況 $r-p$ 的最小值」了。接下來我們專注在「在限制 $p \leq q \leq s/3 \leq r$ 下最小化 $r-p$」上。 將 $a_1, \ldots, a_n$ 分成兩堆，$A = \{a_1, \ldots, a_{\lfloor n/2\rfloor}\}$ 和 $B...