柊四千的倉庫

一棵樹有「拔掉任一非葉節點便不連通」的良好性質，可以幫助我們用 DP 和 divide-and-conquer 解決問題，例如 POJ 1741 和 TIOJ 1647 。這篇假定你知道怎麼把 POJ 1741 做到 $O(n(\log n)^2)$ 的時間複雜度 (如果你不知道也沒關係，google "POJ 1741" 就有很多資料了 XD)。我們沿用 先前 的定義，把一張點數和邊數相等的連通近圖 ( pseudograph ) 稱作一隻水母。再次提醒，水母並不是正式名稱 (我找不到正式名稱 orz)。 考慮這個問題：給定一隻大小為 $n$ 的水母 $J = (V, E)$，邊有正權重，請求出 $J$ 的 $K$-近對個數。一個 $K$-近對的定義是距離不超過 $K$ 的 (無序) 點對。觀察到一隻水母其實是由頭部 (環) 和數條觸手 (樹) 組成。設頭部由點 $t_0, t_1, \ldots, t_{m-1}$ 組成，從 $t_i$ 長出的觸手為 $T_i$。我們把 $K$-近對 $(u, v)$ 分成兩種：$u, v$ 屬於同一條觸手 ($\alpha$ 型)、$u, v$ 屬於不同條觸手 ($\beta$ 型)。只要在每條觸手上跑 POJ 1741，就能求出 $\alpha$ 型 $K$-近對個數了。至於 $\beta$ 型，做法是對於每個點 $v$，統計有幾個點 $u$ 滿足 $u$ 和 $v$ 不在同一條觸手上 $u, v$ 的距離 $d(u, v) \leq K$ 我們用上圖來做說明。設邊 $(t_i, t_{i+1})$ 的權重為 $w_{i+1}$，$s_i := w_1 + \ldots + w_i$ 為「從 $t_0$ 開始，順著 $t_0, t_1, t_2, \ldots$ 的方向，走 $i$ 條邊的里程數」(為了方便，不該超過 $m-1$ 的那些索引值，一旦超過 $m-1$ 就自動對 $m$ 取模)。設 \[ \begin{cases} u \in T_j, d_u := d(u, t_j),\\ v \in T_i, d_v := d(v, t_i), \end{cases} \] 則 $d(u, v)$ 就是 $d_u+d_v+(s_i-s_j)$?! 當然我們沒有這麼好的事情，因為 有

Description 「嗚，不可能，這不可能塞得進去!!! 啊~~~」妤嬌姊姊道。 為了前往外太空解救妁艷，妤嬌決定前往歐洲尋找最先進的航太科技。這個國家是位在白俄羅斯和波蘭的邊境的一個小王國。啵啵啪啪王國，一個世襲君主國家，國民血統為純正的 $1/2$ 白俄羅斯 + $1/2$ 波蘭的完美比例組成。國民擁有驚人的平均 $514$ 的智商，能發展出遠遠超越 SERN 的核物裡和遠遠超越地球聯合、吉翁、紮夫特的航太科技，並不意外。身為潮能力者，LEVEL-5，像是穿越電腦螢幕網路王國傳送 (Network Transfer to Realms, NTR) 這種事情妤嬌當然做過很多次。 「啊~ 好激烈，妤嬌，姊姊快不行了~ 在這樣下去姊姊會~~ 姊姊會壞掉~~」 「姊姊，我也…我也快不行了~~~」 由於妤嬌隨身攜帶的 laptop 螢幕太小了，要把人塞進去有點困難。妤嬌研判，照這樣的情況下去，再把兩個人 (妤嬌自己則可以穿越隧道過去) 都傳送過去之前電腦螢幕有可能會壞掉！ 妤嬌說：「沒辦法，妳們兩個一起來吧！」 「嗚!! 兩邊!? 兩邊一起絕對不行的!!」兩位美少女同聲道。 (十分鐘過後) 「啊~ 妤嬌~~」 「妤嬌葛格~~ 啊~~」 三人都因為使力而身體微微泛紅，身上沾著彼此的汗珠。 「要去了!!!!!!」妤嬌喘著氣大喊。 「在裡面!?!?!?!?」 「妤嬌!!!!~~~~~~~~~」 周圍閃了幾下白光，費盡工夫，總算把兩人塞進螢幕裡面了。剩下的工作就有開啓「人工少女 3」把電腦中的兩人送到啵啵啪啪王國了。 「要產品序號!?」 點開遊戲後才發現事情不妙！ 在妤嬌的記憶中，序號是由下列方法所生成的： 給定質數 $p$ 和正整數 $b, c, n$，定義序列 \[ \begin{cases} a_0 = 1,\\ a_i(a_{i+1}-c)=b,&\text{for }i = 0, 1, \ldots \end{cases} \] 序號為最小的正整數 $m$，使得 $p|ma_n-1$。由於妤嬌是個天才，你只需要幫他驗算就可以了，輸出序號 $\operatorname{mod}q$。 Input Format 第一行有五個正整數 $b, c, n, p, q$，其中 $p, q$ 為質數，意義如上

Description 你有 $n$ 張眼皮和三隻向姊，每張眼皮有他的角動量。 你希望把這些眼皮全部分給三隻向姊，為了避免眼皮爆走，所以需要讓向姊間的角動量差最小，否則向姊們就會吵架！ (假設所有眼皮轉動方向都是逆時針方向，且對於每隻向姊，她的所有眼皮的旋轉中心都相同) Input Format 第 $1$ 行有一個數字 $n\ (3\leq n\leq24)$，代表眼皮的個數。 第 $2$ 行有 $n$ 個數字 $a_1, \ldots, a_n$，$1\leq a_i\leq10^9$，代表每張眼皮的角動量。 Output Format 輸出一個數字，代表角動量最大的向姊和角動量最小的向姊間的角動量差的最小值。 Sample Input 4 5 4 7 6 Sample Output 3 Solution 如果今天只有兩隻向姊，怎麼做呢？利用  meet-in-the-middle algorithm ，可以做到 $O(n2^{n/2})$ 的時間複雜度，比 naïve 演算法的 $O(2^n)$ 快。以下將介紹怎麼在有三隻向姊的情況下，同樣利用 meet-in-the-middle 的精神，在 $O(n3^{n/2})$ 時間內求出答案。為了後續的討論方便，我們允許某個 $a_i \leq 0$，且允許某隻向姊沒分到任何眼皮。 假定三隻向姊拿到的眼皮角動量總和分別為 $p, q, r$，不失一般性令 $p \leq q \leq r$，目標最小化 $r-p$。設 $s := a_1 + \ldots + a_n$，則以下的兩個敘述至少一個會成立： $p \leq q \leq s/3 \leq r$ $p \leq s/3 \leq q \leq r$ 如果我們知道怎麼算出第一種情況 $r-p$ 的最小值，只要把每個 $a_i$ 變號，第一種情況 $r-p$ 的最小值就變成「變號前的第二種情況 $r-p$ 的最小值」了。接下來我們專注在「在限制 $p \leq q \leq s/3 \leq r$ 下最小化 $r-p$」上。 將 $a_1, \ldots, a_n$ 分成兩堆，$A = \{a_1, \ldots, a_{\lfloor n/2\rfloor}\}$ 和 $B = \{a_{\